Analysis, verständlich erklärt
Jede wichtige Definition steht hier sauber aufgeschrieben, danach folgt, was sie wirklich bedeutet, ein Beispiel zum Mitrechnen und die typischen Fallen.
Mengenterminologie
- Eine Menge ist ein „Sack“ voller Elemente; Reihenfolge und Wiederholungen spielen keine Rolle.
- Eine Funktion ordnet jedem Element links genau ein Element rechts zu. Injektiv heißt „keine zwei Pfeile treffen dasselbe Ziel“, surjektiv heißt „jedes Ziel wird getroffen“.
- Zwei Mengen sind „gleich groß“, wenn man sie per Bijektion perfekt paaren kann. So sieht man: ℕ, ℤ und ℚ sind gleich groß, ℝ ist echt größer.
1.1Mengen und ihre Schreibweisen
Eine Menge fasst Objekte zusammen. x ∈ A liest man „x ist Element von A“, x ∉ A heißt „x ist nicht in A“.
| Schreibweise | Beispiel | Wann praktisch |
|---|---|---|
| Aufzählen | A = {1, 2, 3} | kleine, endliche Mengen |
| Beschreiben | A = {alle ganzen Zahlen} | wenn es jeder versteht |
| Bedingung | A = {x : x² = 9} | die präzise Standardform |
{x ∈ ℝ : x² = 9} = {−3, 3}. Gelesen: „alle reellen x, für die x² = 9 gilt“. Der Doppelpunkt heißt „für die gilt“. Außerdem ist {1, 2, 2, 3} = {3, 1, 2}, weil Reihenfolge und Doppelte egal sind.
Die wichtigen Zahlenmengen
| Symbol | Name | Inhalt |
|---|---|---|
| ∅ = {} | leere Menge | gar nichts |
| ℕ | natürliche Zahlen | 0, 1, 2, 3, … (hier mit 0!) |
| ℕ+ | positive natürliche Zahlen | 1, 2, 3, … |
| ℤ | ganze Zahlen | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| ℚ | rationale Zahlen | Brüche p/q mit p, q ∈ ℤ, q ≠ 0 |
| ℝ | reelle Zahlen | die ganze Zahlengerade, inkl. √2, π, e |
B ⊆ A falls x ∈ A für alle x ∈ B.
Auf Deutsch: Alles, was in B steckt, steckt auch in A. B ist ein „Ausschnitt“ von A.
∅ ⊆ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge, denn es gibt kein Element in ∅, das die Bedingung verletzen könnte.
1.2Mengenoperationen
Alle Beispiele in dieser Tabelle benutzen A = {1, 2, 3} und B = {3, 4}.
| Operation | Definition | Gesprochen | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Vereinigung | A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B} | alles aus beiden | {1, 2, 3, 4} |
| Schnitt | A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B} | nur Gemeinsames | {3} |
| Differenz | A \ B = {x : x ∈ A, x ∉ B} | A ohne B | {1, 2} |
| Produkt | A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} | alle Paare | {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} |
| Potenzmenge | 𝒫(B) = {C : C ⊆ B} | alle Teilmengen | {∅, {3}, {4}, {3, 4}} |
Hat A genau n Elemente, dann hat A × B genau n · m und 𝒫(A) genau 2n Elemente. Für jedes Element entscheidest du „rein oder raus“, das sind 2 · 2 · … · 2 Möglichkeiten. Informatiker kennen das als Bitstrings der Länge n.
Schnitt und Differenz sehen sich ähnlich. Unterscheide A ∩ B (Schnitt) und A \ B (Differenz).
Rechenregeln für Mengen
Für Mengen gelten Rechenregeln wie für Zahlen, zum Beispiel ein Distributivgesetz. Bewiesen werden sie alle mit demselben Trick: Jede Mengenoperation ist in Wahrheit ein logisches Wort. Statt mit Mengen rechnest du mit Aussagen über ein einzelnes Element x.
| Mengen | bedeutet für ein Element x | Logik |
|---|---|---|
| x ∈ A ∪ B | x ∈ A oder x ∈ B (oder beides) | ∨ |
| x ∈ A ∩ B | x ∈ A und x ∈ B | ∧ |
| x ∈ A \ B | x ∈ A und nicht x ∈ B, also x ∉ B | ∧ ¬ |
| x ∈ Ac | nicht x ∈ A, also x ∉ A (bezogen auf eine Grundmenge G) | ¬ |
| A ⊆ B | wenn x ∈ A, dann x ∈ B | ⇒ |
| A = B | x ∈ A genau dann, wenn x ∈ B | ⇔ |
„Oder“ ist in der Mathematik immer das einschließende Oder. x ∈ A ∪ B gilt auch dann, wenn x in beiden Mengen liegt. Ein „entweder … oder“ ist nie gemeint.
Die wichtigsten Regeln im Überblick. Die Beispiele benutzen A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, C = {2, 3, 5} und für Komplemente die Grundmenge G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Kommutativ | A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A | Die Reihenfolge ist egal: beide Male {1, 2, 3, 4} bzw. {3}. |
| Assoziativ | A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C | {1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}. Klammern darf man weglassen. |
| Distributiv | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4, 5} = {2, 3} und {3} ∪ {2, 3} = {2, 3} ✓ |
| De Morgan | (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc | {1, 2, 3, 4}c = {5, 6} und {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6} ✓ |
| De Morgan mit Differenz | A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) | A \ {3} = {1, 2} und {1, 2} ∪ {1} = {1, 2} ✓ |
| Idempotenz | A ∪ A = A, A ∩ A = A | Eine Menge mit sich selbst vereinigen ändert nichts. |
| Absorption | A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A | {1, 2, 3} ∪ {3} = {1, 2, 3} und {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3} |
| Doppeltes Komplement | (Ac)c = A | {4, 5, 6}c = {1, 2, 3}. Zweimal „nicht“ hebt sich auf. |
| Differenz als Schnitt | A \ B = A ∩ Bc | {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 5, 6} = {1, 2} ✓ |
| Leere Menge | A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A \ A = ∅ | ∅ verhält sich wie die 0 beim Rechnen. |
Zwei Mengen sind gleich, wenn M ⊆ N und N ⊆ M. Am schnellsten zeigst du beides auf einmal mit einer Äquivalenzkette: Du startest mit x ∈ linke Seite, übersetzt mit der Tabelle oben in Logik, formst die Logik um und übersetzt zurück, bis x ∈ rechte Seite dasteht. Jeder Schritt muss ein echtes „⇔“ sein. Bist du bei einem Schritt unsicher, zeig die beiden Richtungen ⊆ und ⊇ getrennt.
Merkhilfe für De Morgan: Beim Verneinen wird aus „und“ ein „oder“ und umgekehrt. „Nicht (Regen und kalt)“ heißt „nicht Regen oder nicht kalt“.
Beispiel: Aufgabe 2.2 aus der Übung
Beweise die folgenden Rechenregeln, indem du sie auf x ∈ A bzw. x ∉ A und so weiter zurückführst.
Sei x beliebig. Dann gilt:
x ∈ A ∪ (B ∪ C)
⇔ x ∈ A oder x ∈ B ∪ C
⇔ x ∈ A oder (x ∈ B oder x ∈ C)
⇔ (x ∈ A oder x ∈ B) oder x ∈ C
⇔ x ∈ A ∪ B oder x ∈ C
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C
Warum gilt der mittlere Schritt? Beide Aussagen sagen dasselbe: „x liegt in mindestens einer der drei Mengen.“ Wo die Klammer steht, ändert daran nichts. Formal ist das die Assoziativität von „oder“.
Ergebnis: Da die Kette für jedes x gilt, haben beide Seiten genau dieselben Elemente, also sind sie gleich. ∎
Hier hilft eine Fallunterscheidung nach x ∈ A oder x ∉ A, genau wie die Aufgabe es vorschlägt.
Fall 1: x ∈ A. Dann liegt x in A ∪ (B ∩ C), denn A ist ein Teil davon. Ebenso liegt x in A ∪ B und in A ∪ C, also auch im Schnitt der beiden. Links und rechts: x ist drin.
Fall 2: x ∉ A. Dann trägt A nichts bei, und es bleibt:
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ B ∩ C ⇔ x ∈ B und x ∈ C
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇔ x ∈ A ∪ B und x ∈ A ∪ C ⇔ x ∈ B und x ∈ C
Beide Seiten sind also wieder dieselbe Aussage.
Ergebnis: In jedem Fall liegt x genau dann links, wenn es rechts liegt. Also sind die Mengen gleich. ∎
Kurz als Äquivalenzkette:
x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
Das ist das Distributivgesetz der Logik, „oder“ verteilt sich über „und“.
Wer der Logik nicht traut, prüft alle 8 Möglichkeiten in einer Wahrheitstabelle. 1 heißt „x ist drin“, 0 heißt „x ist nicht drin“. Die beiden letzten Spalten müssen in jeder Zeile übereinstimmen:
| A | B | C | B ∩ C | A ∪ (B ∩ C) | A ∪ B | A ∪ C | (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Die unteren vier Zeilen sind Fall 1 (x ∈ A, alles 1), die oberen vier sind Fall 2. Für eine schriftliche Lösung reicht die Fallunterscheidung oder die Äquivalenzkette. Die Tabelle ist eine gute Kontrolle.
Sei x beliebig. Dann gilt:
x ∈ A \ (B ∩ C)
⇔ x ∈ A und x ∉ B ∩ C
⇔ x ∈ A und nicht (x ∈ B und x ∈ C)
⇔ x ∈ A und (x ∉ B oder x ∉ C) (De Morgan)
⇔ (x ∈ A und x ∉ B) oder (x ∈ A und x ∉ C) (Distributiv)
⇔ x ∈ A \ B oder x ∈ A \ C
⇔ x ∈ (A \ B) ∪ (A \ C)
Der entscheidende Schritt ist De Morgan: „x liegt nicht in beiden Mengen B und C“ heißt „x fehlt in mindestens einer davon“. Danach verteilt man „x ∈ A und …“ auf beide Teile.
Ergebnis: Beide Seiten haben dieselben Elemente. ∎
Probe mit Zahlen: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, C = {2, 3, 5}. Links: A \ {3} = {1, 2}. Rechts: {1, 2} ∪ {1} = {1, 2} ✓
- Ein Beispiel ist kein Beweis. Die Probe mit Zahlen zeigt nur, dass die Regel für diese drei Mengen stimmt. Der Beweis muss für ein beliebiges x und beliebige Mengen funktionieren.
- Beim Verneinen kippt „und“ zu „oder“. x ∉ B ∩ C heißt nicht „x ∉ B und x ∉ C“, sondern „x ∉ B oder x ∉ C“.
- Differenz ist nicht kommutativ. A \ B = {1, 2}, aber B \ A = {4}.
1.3Abbildungen: injektiv, surjektiv, bijektiv
Eine Abbildung f : A → B ist eine Maschine: Du gibst ein Element aus A hinein und bekommst genau ein Element aus B heraus. A heißt Definitionsbereich, B Zielbereich.
Eine Funktion f : A → B heißt
injektiv, falls ∀x, y ∈ A : x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y),
surjektiv, falls ∀y ∈ B ∃x ∈ A : f(x) = y,
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Auf Deutsch: Injektiv bedeutet, dass verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben liefern; man kann also von der Ausgabe eindeutig auf die Eingabe zurückschließen. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element im Ziel tatsächlich „erreicht“ wird. Bijektiv heißt beides, dann gibt es eine Umkehrfunktion f−1.
Manchmal liest man bei injektiv „∀x≠y : f(x) = f(y)“. Das ist falsch, richtig ist f(x) ≠ f(y). Gleichwertig und beim Beweisen oft praktischer: aus f(x) = f(y) folgt x = y.
Nimm f(x) = x². Ob das injektiv oder surjektiv ist, hängt davon ab, welche Mengen du links und rechts nimmst:
- f : ℝ → ℝ: nicht injektiv, weil f(−2) = f(2) = 4. Nicht surjektiv, weil −1 nie herauskommt.
- f : [0, ∞) → ℝ: injektiv (keine negativen Eingaben mehr), aber immer noch nicht surjektiv.
- f : [0, ∞) → [0, ∞): bijektiv. Die Umkehrfunktion ist √y.
g : ℕ → ℕ, n ↦ 2n ist injektiv (aus 2n = 2m folgt n = m), aber nicht surjektiv, denn ungerade Zahlen wie 3 werden nie getroffen.
1.4Kardinalität: Wann sind zwei Mengen gleich groß?
Bei endlichen Mengen zählt man einfach. Bei unendlichen Mengen geht das nicht, also nimmt man die Idee vom Paare-Bilden: Wenn du jedem Element von A genau einen Partner in B geben kannst und niemand übrig bleibt, sind A und B gleich groß.
|A| = |B|, falls es eine Bijektion A → B gibt.
|A| ≥ |B|, falls es eine Surjektion A → B gibt.
Auf Deutsch: Wenn du mit den Elementen von A alle Elemente von B „abdecken“ kannst, hat A mindestens so viele Elemente wie B.
Eine Surjektion A → B existiert genau dann, wenn eine Injektion B → A existiert.
Auf Deutsch: „A deckt B ab“ ist dasselbe wie „B passt in A hinein“. Von der Surjektion zur Injektion muss man für jedes y ∈ B ein Urbild auswählen, bei unendlich vielen y gleichzeitig. Genau dieses Auswählen erlaubt das Axiom.
Für alle A, B gilt |A| ≤ |B| oder |A| ≥ |B|.
Gibt es Injektionen A → B und B → A, dann gibt es auch eine Bijektion.
Auf Deutsch: Größen lassen sich immer vergleichen. Und wenn jede Menge in die andere hineinpasst, sind sie gleich groß. Das klingt selbstverständlich, ist bei unendlichen Mengen aber ein echter Satz und sehr nützlich: Statt einer (oft schwer zu findenden) Bijektion reichen zwei Injektionen.
1.5Abzählbar, und warum ℝ größer ist
A heißt abzählbar, falls |A| = |ℕ|. Man schreibt |A| = ℵ0 (Aleph null).
Auf Deutsch: Man kann die Elemente als Liste „erstes, zweites, drittes, …“ aufschreiben, sodass jedes Element irgendwann drankommt.
Die naive Liste 0, 1, 2, 3, … erreicht die negativen Zahlen nie. Der Trick ist, hin und her zu springen:
Als Formel: f(n) = (n+1)/2 für ungerades n und f(n) = −n/2 für gerades n. Das ist eine Bijektion ℕ → ℤ.
Schreibe alle Brüche p/q in ein Gitter (Zeile q, Spalte p) und laufe es entlang der Diagonalen ab: 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, …. Doppelte wie 2/2 = 1/1 überspringst du. Jede Diagonale ist endlich, also kommt jeder Bruch irgendwann dran. Negative Brüche baust du wie bei ℤ abwechselnd ein. Damit ist |ℚ| = ℵ0, obwohl ℚ „überall dicht“ liegt.
Cantors Diagonalargument: ℝ ist nicht abzählbar
Beweis durch Widerspruch. Angenommen, jemand gibt dir eine vollständige Liste aller Zahlen in [0, 1]. Du baust daraus eine Zahl x, die garantiert nicht in der Liste steht: Die k-te Nachkommastelle von x wählst du anders als die k-te Stelle der k-ten Zahl. Eine konkrete Regel: dk = 2 falls dkk = 1, sonst dk = 1.
| x₁ = 0. | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | … |
| x₂ = 0. | 2 | 1 | 1 | 8 | 2 | … |
| x₃ = 0. | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| x₄ = 0. | 5 | 0 | 0 | 1 | 0 | … |
| x₅ = 0. | 7 | 7 | 7 | 7 | 1 | … |
| x = 0. | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | … |
x unterscheidet sich von x1 an Stelle 1, von x2 an Stelle 2 und allgemein von xk an Stelle k. Also ist x ≠ xk für alle k, die Liste war doch nicht vollständig. Widerspruch, also |ℝ| > ℵ0.
Warum nur die Ziffern 1 und 2? Weil Zahlen wie 0.0999… = 0.1000… zwei Dezimaldarstellungen haben. Mit nur 1en und 2en kann x nie auf so einen Doppelgänger hereinfallen.
Hier heißt „abzählbar“ genau gleich groß wie ℕ, also abzählbar unendlich. Manche Bücher zählen auch endliche Mengen als abzählbar. In der Klausur gilt die Definition aus der Vorlesung.
Endlich, abzählbar, überabzählbar: die drei Größenklassen
Jede Menge fällt in genau eine von drei Schubladen. Die Frage dahinter ist immer: Kann ich den Elementen Nummern geben, 1., 2., 3., …, sodass jedes Element irgendwann eine Nummer bekommt?
| Klasse | Bedeutung | Beispiele |
|---|---|---|
| endlich | Man kann die Elemente zählen und ist irgendwann fertig. | ∅, {1, 2, 3}, {z ∈ ℤ : |z| ≤ 100} |
| abzählbar | Unendlich, aber durchnummerierbar: Es gibt eine Bijektion ℕ → A. | ℕ, ℤ, ℚ, gerade Zahlen, Primzahlen |
| überabzählbar | Unendlich und nicht durchnummerierbar. | ℝ, [0, 1], (2, 2.001), ℝ \ ℚ, 𝒫(ℕ) |
Endlich: alle Elemente aufzählen oder zählen.
Abzählbar: eine Nummerierung angeben, am besten als Formel „das n-te Element ist …“, also eine Bijektion f : ℕ → A. Dann kurz sagen, warum jedes Element genau einmal drankommt.
Überabzählbar: eine bekannte überabzählbare Menge darin finden, meistens ein Intervall. Denn wäre A abzählbar, wäre jede unendliche Teilmenge davon auch abzählbar.
- Unendlich heißt nicht überabzählbar. ℕ, ℤ und ℚ sind unendlich, aber abzählbar.
- Die Nummerierung muss nicht der Größe nach gehen. Bei ℤ nummeriert man 0, 1, −1, 2, −2, … Es zählt nur, dass jedes Element irgendwann drankommt.
- „Dicht“ heißt nicht überabzählbar. ℚ liegt überall dicht auf der Zahlengeraden und ist trotzdem abzählbar.
- Die Länge eines Intervalls ist egal. Auch [0, 0.001] ist überabzählbar, es hat genauso viele Punkte wie ganz ℝ. Nur [a, a] = {a} ist endlich.
- Erst die Menge ausschreiben. Prüfe, ob die Elemente aus ℕ, ℤ oder ℝ kommen. {z ∈ ℤ : |z| ≤ 5} ist endlich, {x ∈ ℝ : |x| ≤ 5} ist überabzählbar. Es ist dieselbe Bedingung, aber eine andere Grundmenge.
Beispiel: Aufgabe 2.4 aus der Übung
Sind die folgenden Mengen endlich, abzählbar oder überabzählbar?
Ausschreiben: A = {9, 8, 7, …, 0, −1, −2, …}, alle ganzen Zahlen unter 10.
Unendlich: Es geht nach unten immer weiter, also nicht endlich.
Nummerierung: 1. Element 9, 2. Element 8, 3. Element 7, usw. Als Formel mit ℕ = {0, 1, 2, …}: f(n) = 9 − n. Jedes z < 10 bekommt genau eine Nummer, nämlich n = 9 − z. Für z = −5 ist das n = 14.
Ergebnis: abzählbar. Kurz begründet: A ist unendlich und eine Teilmenge der abzählbaren Menge ℤ.
Ausschreiben: B = {0, 2, 4, 6, …}.
Nummerierung: Die n-te gerade Zahl ist 2n, also f : ℕ → B, n ↦ 2n. Das ist injektiv (aus 2n = 2m folgt n = m) und surjektiv (jede gerade Zahl b ist f(b/2)), also bijektiv.
Ergebnis: abzählbar. Das ist das klassische überraschende Beispiel: Es gibt „genauso viele“ gerade Zahlen wie natürliche Zahlen, obwohl B nur jede zweite Zahl enthält.
Ausschreiben: |x| ≤ c heißt −c ≤ x ≤ c, also C = [−c, c], ein Intervall reeller Zahlen. Für c = 2 ist das [−2, 2].
Begründung: Wegen c > 1 liegt [0, 1] ganz in C. Nach Cantors Diagonalargument ist [0, 1] überabzählbar. Wäre C abzählbar, wäre auch die unendliche Teilmenge [0, 1] abzählbar. Das ist ein Widerspruch.
Alternativ direkt: g(t) = −c + 2ct ist eine Bijektion von [0, 1] nach [−c, c], also |C| = |[0, 1]|.
Ergebnis: überabzählbar. Die Bedingung c > 1 macht die Begründung bequem. Überabzählbar wäre C aber für jedes c > 0.
Ist f : ℤ → ℤ, x ↦ x + 1 bijektiv?
Ja. Injektiv: aus x+1 = y+1 folgt x = y. Surjektiv: zu jedem y ist x = y − 1 ein Urbild. Die Umkehrfunktion ist y ↦ y − 1.
Wie viele Elemente hat 𝒫({a, b, c})? Schreib sie auf.
2³ = 8: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Beweise A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇔ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Der mittlere Schritt ist das Distributivgesetz der Logik: „und“ verteilt sich über „oder“.
Ist ℕ × ℕ abzählbar?
Ja, mit demselben Diagonal-Durchlauf wie bei ℚ: (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2), … Jede Diagonale ist endlich, also kommt jedes Paar dran.
Reelle Zahlen und Vektoren
- ℝ ist ein angeordneter Körper: Man kann rechnen wie gewohnt und Zahlen der Größe nach vergleichen.
- Was ℝ von ℚ unterscheidet, ist die Vollständigkeit: Jede nach oben beschränkte Menge hat eine kleinste obere Schranke, das Supremum. Die Zahlengerade hat also keine „Löcher“.
- Im ℝⁿ misst man Längen mit der Norm und Winkel mit dem Skalarprodukt. Cauchy-Schwarz und die Dreiecksungleichung sind die Werkzeuge, die du ständig brauchst.
2.1Körper und Anordnung
Ein Körper ist eine Menge, in der man addieren, subtrahieren, multiplizieren und (außer durch 0) dividieren kann, und zwar nach den Regeln aus der Schule. Die neun Axiome der Definition 2.1 sind genau diese Regeln:
| Nr. | Axiom | Bedeutung |
|---|---|---|
| 1, 5 | (x+y)+z = x+(y+z), (xy)z = x(yz) | Assoziativität: Klammern egal |
| 2, 6 | x+y = y+x, xy = yx | Kommutativität: Reihenfolge egal |
| 3, 7 | x+0 = x, x·1 = x | es gibt neutrale Elemente 0 und 1 |
| 4 | ∀x ∃y : x+y = 0 | jedes x hat ein Negatives −x |
| 8 | ∀x ≠ 0 ∃y : xy = 1 | jedes x ≠ 0 hat einen Kehrwert 1/x |
| 9 | x(y+z) = xy+xz | Distributivgesetz: Ausmultiplizieren |
- ℕ ist kein Körper: 3 hat kein Negatives in ℕ (Axiom 4 verletzt).
- ℤ ist kein Körper: 2 hat keinen Kehrwert in ℤ, denn 2 · y = 1 hat keine ganzzahlige Lösung (Axiom 8 verletzt).
- ℚ und ℝ sind angeordnete Körper.
- ℂ ist ein Körper, lässt sich aber nicht anordnen (Begründung unten).
(1) Für jedes x gilt genau eins: x > 0, x < 0 oder x = 0.
(2) x, y > 0 ⇒ x+y > 0 und x·y > 0.
(3) x > y ⇔ x − y > 0.
Auf Deutsch: Jede Zahl ist positiv, negativ oder null, und Summe und Produkt positiver Zahlen sind positiv. „Größer“ heißt einfach: die Differenz ist positiv. Daraus folgen alle bekannten Regeln für Ungleichungen.
In jedem angeordneten Körper ist jedes Quadrat ≥ 0: Für x > 0 ist x·x > 0 nach (2), und für x < 0 ist x² = (−x)² > 0. Insbesondere ist 1 = 1² > 0. In ℂ wäre aber i² = −1 < 0. Widerspruch.
Intervalle: was eckige und runde Klammern bedeuten
Ein Intervall ist ein zusammenhängendes Stück der Zahlengeraden, zum Beispiel „alle Zahlen zwischen 2 und 5“. Offen bleibt dabei nur eine Frage: Gehören die Randpunkte 2 und 5 selbst dazu oder nicht? Genau das sagen die Klammern, und zwar für jede Seite einzeln.
Eckige Klammer [ ]: der Randpunkt gehört dazu. Das entspricht ≤.
Runde Klammer ( ): der Randpunkt gehört nicht dazu. Das entspricht <.
Eselsbrücke: Die eckige Klammer „hält den Randpunkt fest“ wie ein Haken, die runde Klammer ist weich und lässt ihn los.
| Schreibweise | Bedeutung | Enthält 2? | Enthält 5? | Name |
|---|---|---|---|---|
| [2, 5] | 2 ≤ x ≤ 5 | ja | ja | abgeschlossenes Intervall |
| (2, 5) | 2 < x < 5 | nein | nein | offenes Intervall |
| [2, 5) | 2 ≤ x < 5 | ja | nein | halboffen |
| (2, 5] | 2 < x ≤ 5 | nein | ja | halboffen |
| [2, ∞) | x ≥ 2 | ja | (keine obere Grenze) | nach oben unbeschränkt |
| (−∞, 2) | x < 2 | nein | (keine untere Grenze) | nach unten unbeschränkt |
∞ ist keine reelle Zahl, sondern nur ein Zeichen für „es geht unbegrenzt weiter“. Ein Punkt, den es nicht gibt, kann auch nicht dazugehören. Deshalb schreibt man [0, ∞) und nie [0, ∞]. [0, ∞) heißt also einfach „alle Zahlen ≥ 0“.
5 ∈ [2, 5] ✓ 5 ∉ [2, 5) 4.999 ∈ [2, 5) ✓ 2 ∉ (2, 5) 2.0001 ∈ (2, 5) ✓
Wichtig: (2, 5) hat trotzdem unendlich viele Elemente, auch beliebig nah an 2. Nur die 2 selbst fehlt.
Dieselbe Schreibweise (2, 5) benutzt man auch für ein Zahlenpaar oder einen Punkt in der Ebene, etwa bei A × B in Kapitel 1. Was gemeint ist, erkennst du am Zusammenhang: Ist von Teilmengen von ℝ die Rede, ist es ein Intervall.
2.2Schranken, Maximum, Supremum
Das ist der wichtigste Begriff dieses Kapitels und der Grund, warum man in der Analysis mit ℝ statt mit ℚ arbeitet.
Obere Schranke von M: jedes x mit y ≤ x für alle y ∈ M.
Maximum: eine obere Schranke, die selbst in M liegt.
Supremum sup(M): die kleinste obere Schranke.
Auf Deutsch: Eine obere Schranke ist eine „Decke“, an die kein Element von M stößt. Das Supremum ist die tiefste Decke, die noch passt. Das Maximum ist das größte Element, falls es eins gibt. Wenn es ein Maximum gibt, ist es auch das Supremum.
| Menge M | obere Schranken | Maximum | Supremum |
|---|---|---|---|
| [0, 1] | [1, ∞) | 1 | 1 |
| (0, 1) | [1, ∞) | existiert nicht | 1 |
| {1 − 1/n : n ∈ ℕ+} | [1, ∞) | existiert nicht | 1 |
| ℕ | keine | existiert nicht | +∞ |
Immer zwei Schritte. (a) s ist eine obere Schranke: y ≤ s für alle y ∈ M. (b) Nichts Kleineres funktioniert: Zu jedem ε > 0 gibt es ein y ∈ M mit y > s − ε.
Bei M = {1 − 1/n}: (a) ist klar, und für (b) nimmst du n > 1/ε, dann ist 1 − 1/n > 1 − ε.
ℝ ist vollständig: Hat eine Teilmenge von ℝ mindestens ein Element und eine obere Schranke, dann hat sie auch ein Supremum in ℝ. Ein angeordneter Körper mit dieser Eigenschaft heißt vollständig.
Auf Deutsch: In ℝ gibt es keine Löcher. Wo eine Menge „hinstrebt“, da gibt es auch eine Zahl.
Nimm M = {x ∈ ℚ : x² < 2}. M ist nach oben beschränkt (z. B. durch 2). In ℝ wäre das Supremum √2, aber √2 ist irrational. Innerhalb von ℚ gibt es keine kleinste obere Schranke: Zu jeder rationalen oberen Schranke findet man eine noch kleinere, die näher an √2 liegt. ℚ hat also an der Stelle √2 ein Loch.
Zwischen zwei reellen Zahlen x < y liegt immer ein Bruch. Explizit: Wähle n ∈ ℕ mit 1/n < y − x und setze z = (⌊nx⌋ + 1)/n. Dann ist x < z ≤ x + 1/n < y.
Zahlenbeispiel: x = 0.31, y = 0.35. Mit n = 50 gilt 1/50 = 0.02 < 0.04, ⌊15.5⌋ = 15, also z = 16/50 = 0.32.
Ganz analog gibt es untere Schranke, Minimum und Infimum inf(M), die größte untere Schranke.
Für leere oder unbeschränkte Mengen vereinbart man: sup(∅) = −∞, sup(M) = +∞ falls M nach oben unbeschränkt, inf(∅) = +∞, inf(M) = −∞ falls nach unten unbeschränkt.
Max, Min, Inf, Sup: der Unterschied
Die vier Begriffe kommen paarweise. Sup und Max schauen nach oben, Inf und Min schauen nach unten. Der entscheidende Unterschied: Max und Min müssen Elemente von M sein, Sup und Inf nicht.
| Begriff | Bedeutung | muss in M liegen? | gibt es immer? |
|---|---|---|---|
| obere Schranke | eine Zahl, die ≥ jedem Element von M ist | nein | nur wenn M nach oben beschränkt ist, dann gleich unendlich viele |
| Supremum sup M | die kleinste obere Schranke | nein | ja, wenn M nicht leer und nach oben beschränkt ist |
| Maximum max M | das größte Element von M | ja | nein, z. B. nicht bei (0, 1) |
| untere Schranke | eine Zahl, die ≤ jedem Element von M ist | nein | nur wenn M nach unten beschränkt ist |
| Infimum inf M | die größte untere Schranke | nein | ja, wenn M nicht leer und nach unten beschränkt ist |
| Minimum min M | das kleinste Element von M | ja | nein, z. B. nicht bei (0, 1) |
Max ist ein Sup, das in M liegt. Min ist ein Inf, das in M liegt.
Bild dazu: M ist ein Raum. Das Supremum ist die Decke, so tief wie möglich gehängt. Das Maximum ist das Element, das die Decke wirklich berührt. Manchmal kommen die Elemente der Decke beliebig nahe, ohne sie je zu berühren. Dann gibt es ein Supremum, aber kein Maximum.
1. Elemente ausrechnen. Setz n = 1, 2, 3, 4 ein und schau, wo die Werte hinwandern. Daraus kommt die Vermutung für sup und inf.
2. Schranke zeigen. Zeig y ≤ s für jedes y ∈ M, meistens mit einer einfachen Abschätzung wie 1/n ≤ 1 oder 1/n > 0.
3. Liegt s in M? Wenn ja, findest du ein n, das genau s ergibt. Dann ist s das Maximum, und nach Teil d) unten automatisch auch das Supremum. Fertig.
4. Wenn nein: niemand Kleineres ist Schranke. Nimm ein beliebiges c < s und finde ein Element von M, das größer als c ist. Dafür ist der Hinweis da: Zu jedem r ∈ ℝ gibt es ein n ∈ ℕ mit n > r. Damit machst du 1/n kleiner als jede vorgegebene positive Zahl. Zum Schluss sagen: s ∉ M, also kein Maximum.
Für inf und min geht alles genauso, nur mit ≥ statt ≤ und „kleiner als c“ statt „größer als c“.
- „Kein Maximum“ heißt nicht „kein Supremum“. (0, 1) hat kein Maximum, aber sup = 1.
- Ein Wert, dem die Elemente nur nahekommen, ist kein Element. 0.999… ist hier gleich 1 und gehört nicht zu (0, 1). Es gibt kein „größtes Element knapp unter 1“.
- Der Grenzwert ist nicht automatisch das Supremum. Bei Teil b) unten nähern sich die Werte ±1, aber sup = 3/2 und inf = −2 werden ganz am Anfang erreicht.
- Nur zeigen, dass s eine Schranke ist, reicht nicht. 5 ist auch eine obere Schranke von (0, 1). Fürs Supremum musst du zeigen, dass keine kleinere Zahl funktioniert.
Beispiel: Aufgabe 2.5 aus der Übung
Bestimme, falls vorhanden, sup, inf, max und min und begründe es. Weil 1/0 nicht definiert ist, läuft n (und m) hier ab 1.
Ausrechnen: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … Die Werte wachsen und kommen 1 immer näher.
Minimum: Wegen 1/n ≤ 1 ist 1 − 1/n ≥ 0 für alle n, also ist 0 eine untere Schranke. Für n = 1 ist 1 − 1 = 0 ∈ M1. Also min = inf = 0.
Obere Schranke: 1/n > 0, also 1 − 1/n < 1 für alle n.
Keine kleinere Schranke: Sei c < 1. Nach dem Hinweis gibt es ein n mit n > 1/(1 − c). Dann ist 1/n < 1 − c, also 1 − 1/n > c. Das Element 1 − 1/n liegt über c, also ist c keine obere Schranke. Damit ist sup = 1.
Maximum: 1 − 1/n = 1 hieße 1/n = 0, das geht nicht. Also 1 ∉ M1, kein Maximum.
Zahlenbeispiel zu c = 0.99: Der Hinweis liefert ein n > 100, etwa n = 101, und 1 − 1/101 ≈ 0.9901 > 0.99 ✓
Man rechnet rückwärts vom Ziel. Das n fällt nicht vom Himmel, man sucht es so:
Ziel: ein Element über c, also 1 − 1/n > c.
1. Umstellen: 1/n auf die rechte Seite und c nach links bringen: 1 − c > 1/n.
2. Nach n auflösen: Mit n multiplizieren gibt n(1 − c) > 1. Wegen c < 1 ist 1 − c > 0, also darf man durch 1 − c teilen, ohne dass sich das Zeichen umdreht: n > 1/(1 − c).
3. Gibt es so ein n? Ja, genau dafür ist der Hinweis da: Zu jedem r ∈ ℝ gibt es ein n > r. Setz r = 1/(1 − c).
4. Aufschreiben: In der Lösung schreibt man die Schritte dann vorwärts, so wie oben: erst das n wählen, dann zeigen, dass es funktioniert.
Zahlenbeispiel: c = 0.99. Dann ist 1 − c = 0.01 und 1/(1 − c) = 100. Also braucht man n > 100, etwa n = 101: 1 − 1/101 ≈ 0.9901 > 0.99 ✓. Je näher c an 1 liegt, desto größer muss n sein, aber ein passendes n gibt es immer.
Bei c) unten geht es genauso: Ziel 2/n < c, umgestellt n > 2/c.
Ausrechnen: Das Vorzeichen springt. Für gerades n kommt 1 + 1/n heraus, für ungerades n kommt −(1 + 1/n) heraus.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | −2 | 3/2 | −4/3 | 5/4 | −6/5 | 7/6 | → ±1 |
Die positiven Werte fallen von 3/2 Richtung 1, die negativen steigen von −2 Richtung −1.
Maximum: Für ungerades n ist der Wert negativ, also kleiner als 3/2. Für gerades n ist n ≥ 2, also 1/n ≤ 1/2 und 1 + 1/n ≤ 3/2. Damit ist 3/2 eine obere Schranke, und für n = 2 wird sie erreicht. Also max = sup = 3/2.
Minimum: Für gerades n ist der Wert positiv, also größer als −2. Für ungerades n ist 1/n ≤ 1, also −(1 + 1/n) ≥ −2. Damit ist −2 eine untere Schranke, und für n = 1 wird sie erreicht. Also min = inf = −2.
Hier braucht man den Hinweis gar nicht, weil beide Werte angenommen werden.
Ausrechnen: n und m sind unabhängig. 1/1 + 1/1 = 2, 1/1 + 1/2 = 3/2, 1/2 + 1/2 = 1, 1/10 + 1/10 = 1/5, … Je größer beide werden, desto näher geht es an 0.
Maximum: 1/n ≤ 1 und 1/m ≤ 1, also ist jedes Element ≤ 2. Für n = m = 1 kommt genau 2 heraus. Also max = sup = 2.
Untere Schranke: Beide Brüche sind positiv, also ist jedes Element > 0.
Keine größere Schranke: Sei c > 0. Nach dem Hinweis gibt es ein n mit n > 2/c. Nimm m = n. Dann ist 1/n + 1/n = 2/n < c. Es gibt also ein Element unter c, und c ist keine untere Schranke. Damit ist inf = 0.
Minimum: Eine Summe von zwei positiven Zahlen ist nie 0, also 0 ∉ M3, kein Minimum.
Sei a = max M. Für das Supremum müssen wir zwei Dinge zeigen.
(1) a ist eine obere Schranke. Das steckt schon in der Definition des Maximums: y ≤ a für alle y ∈ M.
(2) a ist die kleinste obere Schranke. Sei x irgendeine obere Schranke von M. Weil a ∈ M liegt, muss x auch über a liegen: a ≤ x. Also ist a kleiner oder gleich jeder oberen Schranke.
Aus (1) und (2) folgt sup M = a = max M. ∎
Die Umkehrung gilt nicht: Aus „M hat ein Supremum“ folgt nicht „M hat ein Maximum“. Gegenbeispiel aus a): sup M1 = 1, aber M1 hat kein Maximum, weil 1 ∉ M1. Genauso hat M3 ein Infimum 0, aber kein Minimum.
Rechenregeln für Suprema (Satz 2.7)
| Regel | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| sup(A+B) = sup A + sup B | immer | A = (0,1), B = {2,3}: A+B = (2,4), sup = 4 = 1 + 3 |
| sup(λA) = λ sup A | λ ≥ 0 | sup(3·(0,1)) = sup (0,3) = 3 |
| sup(A·B) = sup A · sup B | A, B ⊆ [0, ∞) | siehe Falle unten |
| A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B | immer | mehr Elemente heben die Decke höchstens an |
λ < 0: sup(−1 · [0,1]) = sup [−1,0] = 0, aber −1 · sup [0,1] = −1. Ein negatives λ dreht die Menge um, aus dem Supremum wird das Infimum. Genau daher kommt inf(A) = −sup(−A).
Negative Mengen beim Produkt: A = B = {−2, −1}. Dann ist sup A · sup B = (−1)(−1) = 1, aber A·B = {4, 2, 1} hat Supremum 4.
Die Bedingung bei der Produktregel lautet A, B ⊆ [0, ∞), also: alle Elemente von A und B sind ≥ 0. Die eckige Klammer bei 0 heißt „0 darf dabei sein“, die runde Klammer bei ∞ steht dort immer (siehe Intervalle). Das Gegenbeispiel oben zeigt, warum negative Zahlen ausgeschlossen werden müssen.
Betrag: |x| = max(x, −x), also x falls x ≥ 0 und −x falls x < 0. Es gilt |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇔ x = 0 und |xy| = |x|·|y|. Geometrisch ist |x − y| der Abstand von x und y auf der Zahlengeraden. So solltest du es im Kopf haben, das macht Kapitel 3 viel einfacher.
2.3Offene und abgeschlossene Mengen
Ein offenes Intervall (a, b) mit x ∈ (a, b) heißt Umgebung von x.
A ⊆ ℝ heißt offen, falls jedes x ∈ A eine Umgebung Ix ⊆ A hat.
A heißt abgeschlossen, falls ℝ \ A offen ist.
Auf Deutsch: Offen heißt, jeder Punkt hat ein bisschen „Luft“ um sich herum, die noch in der Menge liegt. Du kannst dich von jedem Punkt aus ein kleines Stück nach links und rechts bewegen, ohne die Menge zu verlassen. Abgeschlossen heißt, das Komplement ist offen, oder anschaulich: die Menge enthält ihre Randpunkte.
Schritt für Schritt: warum [2, 5] abgeschlossen, aber nicht offen ist
Wir nehmen ein konkretes Intervall, [2, 5]. Mit a = 2 und b = 5 ist das genau die Zeile „[a, b]“ aus der Tabelle weiter unten.
Schritt 1: Was müssen wir überhaupt zeigen? Die Definition sagt: A ist abgeschlossen, wenn das Komplement ℝ \ A offen ist. Wir prüfen also gar nicht [2, 5] selbst, sondern alles, was übrig bleibt, wenn man [2, 5] aus der Zahlengeraden herausnimmt.
Schritt 2: Das Komplement aufschreiben. Übrig bleiben alle Zahlen kleiner als 2 und alle Zahlen größer als 5:
Bei 2 und 5 stehen jetzt runde Klammern, weil 2 und 5 zu [2, 5] gehören und deshalb nicht im Komplement sind. Das ∪ heißt „oder“: links ein Stück, rechts ein Stück.
Schritt 3: Ist das Komplement offen? Offen heißt: Um jeden Punkt passt ein kleines offenes Intervall, das komplett in der Menge bleibt. Nimm irgendein x aus (5, ∞), etwa x = 5.3. Der Abstand zu 5 ist 0.3. Nimm die Hälfte davon als Radius: (5.15, 5.45) liegt ganz in (5, ∞) ✓. Das klappt für jedes x > 5, auch für x = 5.0001, dann eben mit Radius 0.00005. Allgemein funktioniert der Radius (x − 5)/2. Links von 2 geht es genauso mit Radius (2 − x)/2.
Der entscheidende Punkt: Der „gefährliche“ Randpunkt 5 gehört gar nicht zum Komplement. Jeder Punkt im Komplement hat also einen echten Abstand zu 5, und in diesen Abstand passt immer ein kleines Intervall.
Schritt 4: Ergebnis. Das Komplement (−∞, 2) ∪ (5, ∞) ist offen. Nach Definition ist [2, 5] also abgeschlossen.
Und warum ist [2, 5] nicht offen? Dafür reicht ein einziger Punkt ohne „Luft“. Das ist der Randpunkt 2: Er gehört zu [2, 5], aber jedes Intervall um 2, egal wie klein, ragt nach links hinaus. Zum Beispiel enthält (1.99, 2.01) die Zahl 1.995, und die liegt nicht in [2, 5]. Also ist [2, 5] nicht offen. Mit 5 geht dasselbe Argument nach rechts.
Weder offen noch abgeschlossen: [0, 1)
Hier gehört ein Randpunkt dazu (die 0) und der andere nicht (die 1). Beides stört:
- Nicht offen, weil 0 in der Menge liegt und keine Luft hat: Jedes Intervall um 0 enthält negative Zahlen, z. B. −0.001, und die sind nicht in [0, 1).
- Nicht abgeschlossen, weil das Komplement (−∞, 0) ∪ [1, ∞) nicht offen ist. Die 1 liegt im Komplement (eckige Klammer!), hat dort aber keine Luft: Jedes Intervall um 1 enthält Zahlen wie 0.999, und die gehören zu [0, 1), also nicht zum Komplement.
Schau nur auf die Randpunkte.
Kein Randpunkt gehört dazu (nur runde Klammern) ⇒ offen.
Alle Randpunkte gehören dazu (nur eckige Klammern, bei ∞ zählt rund nicht) ⇒ abgeschlossen.
Gemischt ⇒ weder noch.
Das ist eine Faustregel für Intervalle. Bei komplizierteren Mengen wie ℚ musst du die Definition benutzen.
| Menge | offen? | abgeschlossen? | Warum |
|---|---|---|---|
| (a, b) | ja | nein | Ränder fehlen, jeder Punkt hat Luft |
| [a, b] | nein | ja | Komplement (−∞,a) ∪ (b,∞) ist offen (siehe Schritt für Schritt oben) |
| [a, b) | nein | nein | a hat keine Luft, und b fehlt |
| {1, 2, 3} | nein | ja | endliche Mengen sind abgeschlossen |
| ℚ | nein | nein | jede Umgebung enthält irrationale und rationale Zahlen |
| ℝ, ∅ | ja | ja | die einzigen beiden (Satz 2.11) |
„Abgeschlossen“ ist nicht das Gegenteil von „offen“. Eine Menge kann beides sein (ℝ, ∅) oder keins von beiden ([0,1), ℚ). Es ist wie bei einer Tür, nur dass die Mathematik halboffene Türen erlaubt.
2.4Der Vektorraum ℝⁿ
ℝn besteht aus Listen (x1, …, xn) reeller Zahlen; für Informatiker sind das Arrays der Länge n. Addition und Skalierung laufen komponentenweise.
⟨x, y⟩ = x · y = Σk=1n xkyk ‖x‖ = √(x · x) = √(Σ xk²)
Auf Deutsch: Das Skalarprodukt multipliziert Eintrag für Eintrag und summiert. Die Norm ist die Länge des Pfeils, also Pythagoras in n Dimensionen. Geometrisch gilt x · y = ‖x‖ ‖y‖ cos θ, wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Bei x · y = 0 stehen sie senkrecht.
x = (1, 2, 2), y = (3, 0, 4).
x · y = 1·3 + 2·0 + 2·4 = 11
‖x‖ = √(1 + 4 + 4) = 3, ‖y‖ = √(9 + 0 + 16) = 5
Check mit Cauchy-Schwarz: |11| ≤ 3 · 5 = 15 ✓. Der Winkel ist cos θ = 11/15, also etwa 43°.
Die vier Grundeigenschaften sagen: Das Skalarprodukt ist symmetrisch, man kann Faktoren herausziehen, es ist distributiv, und x · x ≥ 0 mit Gleichheit nur für den Nullvektor.
2.5Drei Ungleichungen, die du immer brauchst
|⟨x, y⟩| ≤ ‖x‖ · ‖y‖, mit Gleichheit genau dann, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.
Auf Deutsch: Weil |cos θ| ≤ 1, kann das Skalarprodukt nie größer sein als das Produkt der Längen. Gleichheit gibt es nur, wenn die Vektoren auf einer Linie liegen.
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖. In ℝ: |x + y| ≤ |x| + |y|.
Auf Deutsch: Der direkte Weg ist nie länger als ein Umweg. Beweis in einer Zeile: ‖x+y‖² = ‖x‖² + 2⟨x,y⟩ + ‖y‖² ≤ ‖x‖² + 2‖x‖‖y‖ + ‖y‖² = (‖x‖ + ‖y‖)², wobei im mittleren Schritt Cauchy-Schwarz benutzt wird.
|3 + (−5)| = 2 ≤ 3 + 5 = 8. Gleichheit gibt es nur bei gleichem Vorzeichen (xy ≥ 0).
Die umgekehrte Dreiecksungleichung |x − y| ≥ ||x| − |y||, folgt so: |x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|, also |x| − |y| ≤ |x − y|. Mit vertauschten Rollen bekommst du dasselbe für |y| − |x|.
Für x, y ≥ 0 gilt √(xy) ≤ (x + y)/2, Gleichheit genau für x = y.
Auf Deutsch: Ein Rechteck mit Seiten x und y hat höchstens die Fläche eines Quadrats mit gleichem Umfang. Der Beweis startet mit dem Trick 0 ≤ (x − y)²; daraus wird 4xy ≤ (x + y)², dann Wurzel ziehen.
x = 4, y = 9: √36 = 6 ≤ 6.5 = 13/2 ✓. Und x = y = 5: √25 = 5 = 10/2, Gleichheit.
2.6Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl ist ein Punkt in der Ebene: z = x + iy ≅ (x, y) mit Realteil Re(z) = x und Imaginärteil Im(z) = y. Neu ist nur eine Regel: i² = −1. Alles andere ist ganz normales Ausmultiplizieren.
z1 = 1 + 2i, z2 = 3 − i.
Summe: z1 + z2 = 4 + i (komponentenweise).
Produkt: (1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i² = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i.
Mit der Multiplikationsformel: x1x2 − y1y2 = 3 − (−2) = 5 und x1y2 + x2y1 = −1 + 6 = 5 ✓.
z · z = (x + iy)(x − iy) = x² + y² = |z|². Damit teilt man durch komplexe Zahlen: mit dem Konjugierten erweitern, dann ist der Nenner reell. Beispiel: 1/(1 + i) = (1 − i)/((1+i)(1−i)) = (1 − i)/2.
Bestimme sup, inf, max und min von M = {1/n : n ≥ 1}.
Die Elemente sind 1, 1/2, 1/3, … max = sup = 1 (für n = 1). Alle Elemente sind > 0, und zu jedem c > 0 gibt es ein n > 1/c, also 1/n < c. Damit ist inf = 0. Weil 1/n nie 0 ist, gibt es kein Minimum.
Bestimme sup, inf, max, min von M = {(−1)ⁿ/n : n ∈ ℕ₊}.
Die Elemente sind −1, 1/2, −1/3, 1/4, … Größtes Element ist 1/2, also max = sup = 1/2. Kleinstes Element ist −1, also min = inf = −1.
Ist (0, 1) ∪ (2, 3) offen?
Ja. Jeder Punkt liegt in einem der beiden offenen Intervalle und hat dort schon eine Umgebung. Allgemein ist jede Vereinigung offener Mengen offen.
Berechne (2 + i)² und |2 + i|.
(2+i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i, und |2 + i| = √5. Probe: |3 + 4i| = 5 = (√5)².
Folgen
- Eine Folge konvergiert gegen x, wenn sie ab einem gewissen Index für immer in jedem noch so schmalen Streifen um x bleibt (die ε-N-Definition).
- Statt jedes Mal ε und N zu suchen, benutzt man Werkzeuge: Rechenregeln, Einschließung, „monoton und beschränkt ⇒ konvergent“.
- Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstraß), und Konvergenz kann man prüfen, ohne den Grenzwert zu kennen (Cauchy).
3.1Was ist eine Folge?
Formal ist eine Folge eine Abbildung ℕ → M, praktisch eine unendliche Liste x0, x1, x2, …. Für Informatiker: ein unendliches Array, oder ein Generator, der auf Anfrage das n-te Glied liefert.
Explizit: xn = 2n, man kann jedes Glied direkt ausrechnen.
Rekursiv: x0 = 1, xn+1 = 2xn, jedes Glied ergibt sich aus dem vorherigen. Beides beschreibt dieselbe Folge 1, 2, 4, 8, …
Monoton wachsend heißt xn ≤ xn+1 für alle n; streng monoton wachsend heißt xn < xn+1. Fallend analog. Eine konstante Folge ist monoton wachsend und monoton fallend, aber nicht streng.
3.2Der Grenzwert
xn → x, falls es zu jedem ε > 0 ein N gibt, sodass |xn − x| < ε für alle n ≥ N.
Auf Deutsch: Stell dir ein Spiel vor. Dein Gegner wählt einen Streifen der Breite ε um x, so schmal er will. Du musst darauf ein N nennen, ab dem alle Folgenglieder im Streifen liegen. Wenn du dieses Spiel für jedes ε gewinnst, konvergiert die Folge gegen x. Je kleiner ε, desto größer muss N in der Regel werden.
Sei ε > 0 gegeben. Wähle N > 1/ε. Dann gilt für alle n ≥ N:
Das ist schon der ganze Beweis. Das Muster ist immer gleich: Den Abstand |xn − x| ausrechnen oder nach oben abschätzen, dann N so wählen, dass die Abschätzung kleiner als ε wird.
Die Folge springt −1, 1, −1, 1, … Wähle ε = 1. Für jeden Kandidaten x ist der Abstand zu 1 oder der zu −1 mindestens 1, denn die beiden Punkte liegen 2 auseinander. Also liegen unendlich viele Glieder außerhalb des Streifens, das Spiel ist für ε = 1 verloren.
Jede reelle Folge hat höchstens einen Grenzwert.
Auf Deutsch: Wäre xn → x und xn → y, dann wäre |x − y| ≤ |x − xn| + |xn − y| < 2ε für jedes ε. Ein fester Abstand, der kleiner als jede positive Zahl ist, muss 0 sein.
3.3Werkzeuge für Grenzwerte
Aus xn ≤ yn für alle n, xn → x und yn → y folgt x ≤ y.
Aus < wird im Grenzwert nur ≤. Ein Beispiel: 1/n² < 1/n für n ≥ 2, aber beide Grenzwerte sind 0.
Ist xn ≤ wn ≤ yn und xn → x, yn → x, dann auch wn → x.
Auf Deutsch: Wenn eine Folge zwischen zwei Folgen eingeklemmt ist, die zum selben Ziel laufen, hat sie keine Wahl und muss mit.
wn = sin(n)/n. Den Sinus kennen wir kaum, aber er liegt zwischen −1 und 1. Also gilt −1/n ≤ wn ≤ 1/n, beide Seiten gehen gegen 0, also wn → 0. Ein komplizierteres Beispiel funktioniert genauso: Ein riesiger Nenner wie 137n17 macht den Bruch kleiner als 1/n.
xn → +∞, falls es zu jedem C > 0 ein N gibt mit xn ≥ C für alle n ≥ N.
Beschränkt heißt: es gibt K mit |xn| ≤ K für alle n. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Auf Deutsch: „Gegen unendlich“ heißt, die Folge übersteigt jede Schranke und bleibt darüber. Und konvergente Folgen können nicht ausbrechen: Ab N sind alle Glieder nah am Grenzwert, und davor gibt es nur endlich viele.
Umgekehrt gilt es nicht: (−1)n ist beschränkt, konvergiert aber nicht. Und „unbeschränkt“ heißt nicht automatisch „geht gegen ∞“: 0, 1, 0, 2, 0, 3, … ist unbeschränkt, geht aber nicht gegen ∞, weil immer wieder 0 kommt.
Aus xn → a und yn → b folgt xn ± yn → a ± b, xnyn → ab und, falls b ≠ 0, xn/yn → a/b.
Auf Deutsch: Grenzwerte vertragen sich mit den Grundrechenarten. Du darfst eine komplizierte Folge in einfache Bausteine zerlegen, deren Grenzwerte du kennst.
Bei Polynomen im Zähler und Nenner teilst du durch die höchste Potenz des Nenners:
Erst nach dem Kürzen sind die Rechenregeln anwendbar, denn vorher gehen Zähler und Nenner beide gegen ∞, und „∞/∞“ ist kein Grenzwert.
3.4Monotone Folgen
Jede monoton wachsende, beschränkte Folge konvergiert, und zwar gegen supn xn. Monoton fallend und beschränkt konvergiert gegen das Infimum.
Auf Deutsch: Wer immer nur nach oben geht, aber eine Decke hat, muss irgendwo zur Ruhe kommen, nämlich genau unter der tiefsten Decke, dem Supremum. Hier wird die Vollständigkeit von ℝ benutzt: In ℚ würde der Satz nicht gelten.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x₁ = 0.2 | 0.200 | 0.447 | 0.669 | 0.818 | 0.904 | 0.951 | → 1 |
| x₁ = 16 | 16 | 4 | 2 | 1.414 | 1.189 | 1.091 | → 1 |
Startest du unter 1, wächst die Folge monoton und ist durch 1 beschränkt. Startest du über 1, fällt sie monoton und ist durch 1 nach unten beschränkt. In beiden Fällen konvergiert sie nach Satz 3.10. Den Grenzwert x findest du, indem du in der Rekursion xn und xn+1 durch x ersetzt: x = √x, also x = 0 oder x = 1. Da die Folge bei x₁ = 0.2 wächst, kann es nicht 0 sein, also 1.
Der Trick „Grenzwert in die Rekursion einsetzen“ funktioniert nur, wenn du vorher weißt, dass die Folge konvergiert. Bei xn+1 = 2xn liefert er x = 2x, also x = 0, obwohl 1, 2, 4, 8, … gegen ∞ geht.
Exkurs: das Collatz-Problem
Ob eine rekursive Folge konvergiert, kann extrem schwer sein. Die Regel: Ist xn gerade, halbiere; ist sie ungerade (und nicht 1), rechne 3xn + 1; bei 1 bleibst du stehen. Die Vermutung, dass man von jedem Start aus bei 1 landet, ist seit 1937 unbewiesen. Probier es aus:
3.5limsup, liminf und Häufungspunkte
Nicht jede beschränkte Folge konvergiert. Aber man kann trotzdem fragen: Wo hält sich die Folge auf Dauer auf? Dafür gibt es drei Begriffe.
Für Indizes n1 < n2 < n3 < … heißt (xnk)k Teilfolge. x heißt Häufungspunkt von (xn), falls es eine Teilfolge gibt, die gegen x konvergiert.
Auf Deutsch: Eine Teilfolge entsteht, wenn du unendlich viele Glieder auswählst und die Reihenfolge beibehältst. Ein Häufungspunkt ist ein Ort, an den die Folge immer wieder zurückkommt, unendlich oft beliebig nah.
xn = supk≥n xk ist monoton fallend, xn = infk≥n xk ist monoton wachsend.
limsup xn = lim xn, liminf xn = lim xn.
Auf Deutsch: Schau dir ab Index n den ganzen „Schwanz“ der Folge an und nimm das Supremum. Wenn du n vergrößerst, fallen frühe Ausreißer weg, die obere Kurve sinkt. Wohin sie sinkt, ist der limsup. Grob gesagt: der größte Wert, den die Folge auf Dauer immer wieder erreicht.
Für eine beschränkte Folge sind limsup und liminf der größte bzw. kleinste Häufungspunkt. Außerdem gilt: xn → x ⇔ liminf xn = limsup xn = x.
Auf Deutsch: Alle Häufungspunkte liegen zwischen liminf und limsup, und die beiden Ränder sind selbst Häufungspunkte. Die Folge konvergiert genau dann, wenn oben und unten zusammenfallen, also wenn es nur einen Häufungspunkt gibt.
Jede beschränkte reelle Folge hat eine konvergente Teilfolge. Denn der limsup ist ein Häufungspunkt, und dazu gibt es per Definition eine Teilfolge, die gegen ihn konvergiert.
Die Folge 0, 1/2, 1, 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 0, 1/8, 2/8, …, 1, … läuft in immer feineren Schritten von 0 nach 1. Jede Zahl in [0, 1] wird immer wieder beliebig genau angenähert. Darum ist die Menge der Häufungspunkte das ganze Intervall [0, 1], mit liminf = 0 und limsup = 1. Eine Folge kann also unendlich viele Häufungspunkte haben.
3.6Das Cauchy-Kriterium
(xn) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N gibt mit |xn − xm| < ε für alle m, n > N.
Auf Deutsch: Die Folgenglieder kommen sich gegenseitig beliebig nah. Das Besondere: In der Bedingung kommt der Grenzwert gar nicht vor. Du kannst also beweisen, dass eine Folge konvergiert, ohne zu wissen, wogegen.
xn = 1/n: Für m, n > N gilt |1/n − 1/m| ≤ max(1/n, 1/m) < 1/N, und das ist kleiner als ε, sobald N ≥ 1/ε. Also ist die Folge Cauchy.
Der Beweis von „Cauchy ⇒ konvergent“ benutzt Bolzano-Weierstraß, und der benutzt die Vollständigkeit von ℝ. In ℚ geht das schief: Die Dezimalnäherungen 1, 1.4, 1.41, 1.414, … von √2 sind eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen, aber ihr Grenzwert ist nicht rational. Das Loch in ℚ aus Kapitel 2 taucht hier wieder auf.
Für beschränkte Folgen sind diese drei Aussagen gleichwertig: (1) die Folge konvergiert, (2) sie hat genau einen Häufungspunkt, (3) limsup = liminf. Das folgt direkt aus Satz 3.12.
Zeige mit ε-N: (2n + 1)/n → 2.
|(2n+1)/n − 2| = 1/n. Zu ε > 0 wähle N > 1/ε, dann ist der Abstand für n ≥ N kleiner als ε.
Bestimme limsup und liminf von xₙ = (−1)ⁿ + 1/n.
Gerade n: 1 + 1/n → 1. Ungerade n: −1 + 1/n → −1. Also limsup = 1, liminf = −1, die Folge konvergiert nicht.
Wahr oder falsch: Jede monotone Folge konvergiert.
Falsch. Es braucht zusätzlich Beschränktheit. Gegenbeispiel: xn = n ist monoton wachsend und geht gegen +∞.
Gegen was konvergiert (n² − 4n) / (2n² + 7)?
Durch n² teilen: (1 − 4/n)/(2 + 7/n²) → 1/2.